众所周知当x^2=-1时，==〉x=i；那当x^(1/2)=-1时，x=?

首先说一下，你的第一句话有点问题，i^2=-1不假。但是（-i）^2=-1
所以当x^2=-1时，==〉x=i或x=-i
虚数的开方和实数不同，实数里例如4平方根是2，但是2和-2的平方都等于4，但是我们只取2为根号4的值。也就是说，如果a是b的平方，但b不一定是a的平方根。
复数的开方中通常要用到棣莫弗定理，你可以参考这里：http://baike.baidu.com/view/635938.htm
为了应用棣莫弗定理，首先把复数表示为三角形形式：
z=r(cosx+isinx) y表示复数z模，x表示z的辐角。那么根据棣莫弗定理，z^(1/n)=r^(1/n)*[cos(1/n)+isin(1/n)]
需要注意的是，如果不限制x的值，我们根据上面的式子可以得出n个结果，事实上，确实有n个复数的n次方都等于z，但是在复数的开方运算中，我们只取一个，我们限制x为辅角主值，也就是大于等于0度小于360度，于是，一个复数开n次方，结果的蝠角大于等于0度小于n分之360度
说到这里，你的前两个问题已经解决
1。任何复数都可以开n次方，但是不是所有的复数都可以作为一个数的n次方根，一个复数的平方根的蝠角主值必然小于180度
但是-1的蝠角主值是180度，所以，它不是任何复数的平方根
2。(i^4)^（1/2）=i^2=1是对的，由于蝠角要取主值的限制，复数的幂和开方必须严格一步一步进行，也就是本式只能先求幂然后才能开方
实数的运算法则[x^(a)]^b=x^(ab)在这里不再成立
事实上（-1）^（1/4）=cos45度+isin45度=[(√2)+(√2)i]/2
3.首先，这个复数体系全部建立于i^2=-1上面。如果我们给x^(1/2)=-1定义一个解，那么它必将超出复数的范畴。人们定义一个东西，首先要有一定的价值。我们现在看到的i^2=-1其实是原来世上不存在的，定义它是为了作为工具解决其一些问题。可以参考 众所周知当x^2=-1时，==〉x=i；那当x^(1/2)=-1时，x=? 求当x>0时，f(x)=2x/x+1的值域？ 已知x<0,当x=-----时,1-2x-3/x有最小值----- 数学题：当x=2时,求1+x+x(1+x)+x(1+x)^2……x(1+x)^2003的值 f（x）为奇函数，当x〈0，f（x）=2^2+x-1，则当x≥0时，f（x）=________ f(x）R上奇函数，f(x)+f(x-1)=1,当x属于[0，1]时f（x）=x^2,判断当x属于[1，2]时，f(x)= -x^2+2x真假 当X( )0时，X+|X|除以X=0 已知f(X)是偶函数,当x<0时,f(x)=x(x+1),则当x>0时,f(x)=_______ 已知y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)当x<0时，f(x)应该等于多少？ 现有一个代数式x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-19)(x-20),当x=10.5时，代数式的值为a；当x=9.5时，代数式的值为b